2025-2026 海南天一联考·高二上期末考 数学

满分：150分 | 考试时间：120分钟

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

  1. (2091) 直线 $2x+4y+3=0$ 的斜率为（ ）
    A. 2 B. $\frac{1}{2}$ C. $-\frac{1}{2}$ D. -2
    答案：C
    解析：将直线方程化为斜截式：$4y = -2x - 3 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}$。
    [cite_start]
    故斜率 $k = -\frac{1}{2}$。 [cite: 2204]
  2. (2096) 从数字1, 2, 3, 4中随机抽取1个，下列事件中与事件“抽到2的倍数”对立的是（ ）
    A. 抽到奇数 B. 抽到偶数 C. 抽到2 D. 抽到1
    答案：A
    解析：“抽到2的倍数”即抽到{2, 4}，也就是抽到偶数。
    [cite_start]
    其对立事件为“没有抽到2的倍数”，即抽到{1, 3}，也就是抽到奇数。 [cite: 2207]
  3. (2100) 在1与25之间插入4个数，使这6个数成等差数列，则该数列的公差为（ ）
    A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6
    答案：B
    解析：设该数列为 $\{a_n\}$，则 $a_1=1$，共有6项，故 $a_6=25$。
    [cite_start]
    由通项公式 $a_6 = a_1 + 5d$，得 $25 = 1 + 5d$，解得 $d = 4.8$。 [cite: 2210]
  4. (2104) 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a} - \frac{y^2}{3} = 1 (a>0)$ 的两条渐近线的夹角为 $\frac{\pi}{3}$，则 $a=$（ ）
    A. 1或3 B. 3 C. 1或9 D. 9
    答案：C
    解析：渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{\frac{3}{a}}x$。设渐近线倾斜角为 $\theta$。
    若夹角为 $60^\circ$，则倾斜角可能是 $30^\circ$ 或 $60^\circ$。
    情况1：$\sqrt{\frac{3}{a}} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \frac{3}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a=9$。
    [cite_start]
    情况2：$\sqrt{\frac{3}{a}} = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{3}{a} = 3 \Rightarrow a=1$。故选C。 [cite: 2214]
  5. (2109) 记等比数列 $\{a_n\}$ 的前n项和为 $S_n$，若 $\frac{S_6}{S_3} = \frac{9}{8}$，则公比 $q=$（ ）
    A. 1 B. $\frac{1}{2}$ C. 2 D. 3
    答案：B
    解析：由等比数列性质，$\frac{S_6}{S_3} = \frac{S_3 + q^3 S_3}{S_3} = 1 + q^3$。
    [cite_start]
    由题意 $1 + q^3 = \frac{9}{8} \Rightarrow q^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow q = \frac{1}{2}$。 [cite: 2217]
  6. (2120) 已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的长度均为2，且 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0, \vec{c}\cdot\vec{a}=\vec{c}\cdot\vec{b}=2$，则 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}+\vec{b}$ 的夹角为（ ）
    A. $\frac{\pi}{6}$ B. $\frac{\pi}{4}$ C. $\frac{\pi}{3}$ D. $\frac{\pi}{2}$
    答案：B
    解析：计算 $|\vec{a}+\vec{b}|$：$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 4+4+0=8 \Rightarrow |\vec{a}+\vec{b}|=2\sqrt{2}$。
    计算数量积：$\vec{c}\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot\vec{b} = 2+2=4$。
    计算夹角余弦：$\cos\langle \vec{c}, \vec{a}+\vec{b} \rangle = \frac{4}{2 \times 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
    [cite_start]
    故夹角为 $\frac{\pi}{4}$。 [cite: 2220]
  7. (2128) 一条光线从x轴上的点P发出，经y轴反射，反射光线经过点 $Q(6,6)$，若该过程中光线从点P到点Q经过的路程为10，则反射光线所在的直线方程为（ ）
    A. $3x-2y-6=0$ B. $2x-3y+6=0$ C. $4x-3y-6=0$ D. $3x-4y+6=0$
    答案：D
    解析：设 $P(a,0)$，其关于y轴的对称点为 $P'(-a,0)$。由光学性质，光线经过y轴反射到达Q，相当于从 $P'$ 直线到达Q。
    路程 $|P'Q| = \sqrt{(6-(-a))^2 + (6-0)^2} = 10$。解得 $(6+a)^2 = 64 \Rightarrow a=2$ (因需经过y轴反射到第一象限，P通常在x轴正向)。
    [cite_start]
    所以 $P'(-2,0), Q(6,6)$。直线方程：$y-0 = \frac{6-0}{6-(-2)}(x+2) \Rightarrow y = \frac{3}{4}(x+2) \Rightarrow 3x-4y+6=0$。 [cite: 2224]
  8. (2134) 若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆两个焦点的距离之比为2:3，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
    A. $[\frac{1}{5}, 1)$ B. $[0, \frac{\sqrt{5}}{5}]$ C. $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ D. $[0, \frac{1}{5}]$
    答案：A
    解析：设 $|PF_1|=2m, |PF_2|=3m$。由定义 $|PF_1|+|PF_2|=2a \Rightarrow 5m=2a \Rightarrow m=\frac{2}{5}a$。
    在 $\triangle PF_1F_2$ 中，由两边之差小于第三边：$|3m-2m| \le 2c \Rightarrow m \le 2c$。
    [cite_start]
    即 $\frac{2}{5}a \le 2c \Rightarrow c \ge \frac{1}{5}a \Rightarrow e \ge \frac{1}{5}$。又 $e < 1$。 [cite: 2228]

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

  1. (2141) 已知不重合的直线 $l_1, l_2$ 的方向向量分别是 $\vec{a}=(1, -2, 3), \vec{b}=(-1, 2, -3)$，平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别是 $\vec{u}=(2, 2, -1), \vec{v}=(1, -1, 0)$，则（ ）
    A. $l_1 // l_2$ B. $l_1 // \alpha$ C. $l_2 \perp \beta$ D. $\alpha \perp \beta$
    答案：AD
    解析：A项：$\vec{a} = -1 \cdot \vec{b}$，向量平行，故 $l_1 // l_2$，正确。
    B项：$\vec{a} \cdot \vec{u} = 2 - 4 - 3 = -5 \neq 0$，不平行，错误。
    C项：$\vec{b}$ 与 $\vec{v}$ 不平行，错误。
    [cite_start]
    D项：$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 2 + 0 = 0$，法向量垂直，故面垂直，正确。 [cite: 2233-2236]
  2. (2147) 已知数列 $\{a_n\}$ 不是常数列，前n项和为 $S_n$，下列结论正确的是（ ）
    A. 若为等差且 $S_n>0$ 恒成立，则为递增数列 B. 若为递减等差且 $a_6 \cdot a_7 < 0$，则 $S_n$ 在 $n=6$ 时最大 C. 若为等比，则 $S_5 a_5 > 0$ 恒成立 D. 若为正项等比，且 $a_1>1, \frac{a_5-1}{a_6-1}<0$，则 $q>1$
    答案：ABC
    解析：A项：等差数列前n项和为二次函数。若 $S_n>0$ 恒成立，开口需向上，即 $d>0$，递增，正确。
    B项：递减且 $a_6 a_7 < 0$ 说明 $a_6 > 0, a_7 < 0$。前6项为正，第7项开始为负，故 $S_6$ 最大，正确。
    C项：等比数列各项同号（q>0）或交替变号（q<0）。$S_5 a_5=a_1^2 q^4 \frac{1-q^5}{1-q}$。无论q正负（$q \neq 1$），该式恒大于0，正确。
    [cite_start]
    D项：若 $q>1$，数列递增，$a_n > a_1 > 1$，分子分母均为正，比值大于0。题设比值小于0，矛盾。故D错误。 [cite: 2239-2244]
  3. (2152) 已知抛物线 $C: y^2=2px (p>0)$ 的焦点为F，点 $M, N$ 和 $P(2,4)$ 是C上互不重合的三个点，且直线 PM 和 PN 的斜率互为相反数，则（ ）
    A. 以 PF 为直径的圆与 y 轴相切 B. 存在点 M, N，满足 $PM \perp PN$ C. 直线 MN 的斜率为定值 -1 D. 点 P 总在以 MN 为直径的圆外
    答案：ACD
    解析：由 P(2,4) 在抛物线上得 $16 = 4p \Rightarrow p=4$。$y^2=8x$，焦点 F(2,0)。
    A项：PF中点(2,2)，半径 $r=|PF|/2=2$，距离y轴距离也是2，相切，正确。
    C项：设 $M(y_1^2/8, y_1), N(y_2^2/8, y_2)$。$k_{PM} = \frac{8}{y_1+4}, k_{PN} = \frac{8}{y_2+4}$。互为相反数得 $y_1+y_2=-8$。则 $k_{MN} = \frac{y_1-y_2}{(y_1^2-y_2^2)/8} = \frac{8}{y_1+y_2} = -1$，正确。
    B项：若垂直，斜率乘积为-1，结合斜率相反数得 $k=\pm 1$。代入得 $y_1=4$ 或 $y_2=4$，点重合，舍去，错误。
    [cite_start]
    D项：计算数量积 $\vec{PM} \cdot \vec{PN} > 0$，说明 $\angle MPN$ 为锐角，P在圆外，正确。 [cite: 2247-2261]

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

  1. (2160) 甲、乙两人独立地做同一道题，若甲、乙做对该题的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$，则两人中只有甲做对该题的概率为 ______。
    答案：$\frac{1}{6}$ [cite_start]
    解析：$P = P(\text{甲对}) \times P(\text{乙错}) = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{6}$。 [cite: 2266]
  2. (2161) 过点 $M(m, \sqrt{3}m+4)$ 作圆 $O: x^2+y^2=1$ 的切线 MP，切点为 P，则 $\angle PMO$ 的最大值为 ______。
    答案：$\frac{\pi}{6}$
    解析：M 在直线 $\sqrt{3}x - y + 4 = 0$ 上。$\sin \angle PMO = \frac{OP}{OM} = \frac{1}{OM}$。
    要使角最大，需 OM 最小。OM 最小值为原点到直线距离 $d = \frac{|4|}{\sqrt{3+1}} = 2$。
    [cite_start]
    最大正弦值为 $1/2$，故最大角为 $30^\circ$ 即 $\frac{\pi}{6}$。 [cite: 2270]
  3. (2162) 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，P 为第一象限点，过原点 O 作 $PF_2$ 平行线交 $PF_1$ 及 $\angle F_1PF_2$ 平分线于 M, N。若 $|MN|=\frac{3}{4}|PF_2|$，则 $|PF_1|+|PF_2| = $ ______。
    答案：40
    解析：由平行及中点性质知 $M$ 为 $PF_1$ 中点，$|OM|=\frac{1}{2}|PF_2|$。
    由角平分线及平行线性质可证 $\triangle PMN$ 为等腰三角形，$|PM|=|MN|$。
    题目给 $|MN|=\frac{3}{4}|PF_2|$，故 $|PM|=\frac{3}{4}|PF_2|$，则 $|PF_1| = 2|PM| = \frac{3}{2}|PF_2|$。
    [cite_start]
    由双曲线定义 $|PF_1|-|PF_2|=2a=8$，得 $\frac{1}{2}|PF_2|=8 \Rightarrow |PF_2|=16, |PF_1|=24$。和为 40。 [cite: 2280]

四、解答题（本题共5小题，共77分）

  1. (2166) (13分) 一个盒子中有3个绿球，m个红球。
    (1) 若抽1个球是红球的概率为 $\frac{2}{3}$，求 m；
    (2) 若 $m=2$，不放回抽取2个球，求第二次抽到绿球的概率。
    解析
    (1) $P = \frac{m}{3+m} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3m = 6 + 2m \Rightarrow m=6$。
    (2) 总球数 $3+2=5$。 方法一：利用抽签原理，第二次抽到绿球的概率与第一次相同，即 $P = \frac{3}{5}$。 方法二：分类讨论。 [cite_start]P(红,绿) + P(绿,绿) = $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$。 [cite: 2291-2298]
  2. (2170) (15分) 记数列 $\{a_n\}$ 的前n项和为 $S_n$，已知 $2S_n + 2n = 3a_n$。
    (1) 求 $a_1, a_2$；
    (2) 证明：$\{a_n+1\}$ 是等比数列；
    (3) 求 $S_1 + S_2 + \dots + S_n$。
    解析
    (1) $n=1: 2a_1+2=3a_1 \Rightarrow a_1=2$。 $n=2: 2(a_1+a_2)+4=3a_2 \Rightarrow 2(2+a_2)+4=3a_2 \Rightarrow a_2=8$。
    (2) $2S_n+2n=3a_n$ ① $2S_{n-1}+2(n-1)=3a_{n-1}$ ② ①-②得 $2a_n+2=3a_n-3a_{n-1} \Rightarrow a_n=3a_{n-1}+2$。 配凑：$a_n+1 = 3(a_{n-1}+1)$。故为公比 $q=3$ 的等比数列。
    (3) $a_n+1 = (a_1+1)3^{n-1} = 3^n \Rightarrow a_n = 3^n-1$。 由题 $S_n = \frac{3a_n-2n}{2} = \frac{3(3^n-1)-2n}{2} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n+1} - \frac{3}{2} - n$。 求和 $\sum S_k = \frac{1}{2}\sum 3^{k+1} - \frac{3}{2}n - \frac{n(n+1)}{2}$ [cite_start]$= \frac{1}{2} \frac{9(1-3^n)}{1-3} - \frac{3n}{2} - \frac{n^2+n}{2} = \frac{9}{4}(3^n-1) - \frac{n^2}{2} - 2n$。 [cite: 2300-2324]
  3. (2176) (15分) 四棱锥 P-ABCD，PA $\perp$ 底面，BC $\perp$ AC，AB // DC。
    (1) 证明：平面 PBC $\perp$ 平面 PAC；
    (2) 若 $PA=AB=4, BC=2, CD=3$，求平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值。
    解析
    (1) PA $\perp$ 面 ABCD $\Rightarrow$ PA $\perp$ BC。又 BC $\perp$ AC。 $\Rightarrow$ BC $\perp$ 面 PAC。 因 BC $\subset$ 面 PBC，故面 PBC $\perp$ 面 PAC。
    (2) 在底面中算出 $AC = \sqrt{16-4} = 2\sqrt{3}$。利用余弦定理可证 $AD \perp AB$。 建立空间直角坐标系 A-xyz。 计算得平面 PBC 法向量 $\vec{n} = (\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$。 平面 PAD 法向量 $\vec{m} = (1, 0, 0)$。 [cite_start]$\cos \theta = \frac{|\vec{m}\cdot\vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$。 [cite: 2326-2353]
  4. (2180) (17分) 椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 离心率 $\frac{1}{2}$，短轴长 $2\sqrt{3}$。
    (1) 求 C 方程；
    (2) 直线 $l$ 过 $(0,3)$ 斜率 k，交 C 于 A, B。M 为中点。
    (i) 证 $k_{OM} \cdot k$ 为定值；(ii) 求 $\triangle ABO$ 面积最大值。
    解析
    (1) $2b=2\sqrt{3} \Rightarrow b=\sqrt{3}$。$e=1/2 \Rightarrow c/a=1/2$。 解得 $a^2=4$。方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。
    (2)(i) 点差法：$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1, \frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$。 两式相减变形得 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2} = -\frac{3}{4}$。即 $k \cdot k_{OM} = -\frac{3}{4}$。
    (2)(ii) 联立方程求弦长及原点到直线距离。 面积 $S = \frac{6\sqrt{6}\sqrt{2k^2-3}}{3+4k^2}$。换元法求最值。 [cite_start]最大值为 $3\sqrt{3}$。 [cite: 2360-2377]
  5. (2190) (17分) $F(\frac{1}{4}, 0)$, Q 在 $x=-\frac{1}{4}$ 上。过 Q 作垂线与 QF 中垂线交于 P。记轨迹 C。
    (1) 求 C 方程；
    (2) 数列 $a_n$ 正项，$(n, a_n)$ 在 C 上。
    (i) 求 $\sum \frac{1}{a_n^2 a_{n+1}^2}$；(ii) 证明不等式...
    解析
    (1) 由题意 $|PQ|=|PF|$ (P在垂直平分线上)，且 PQ 垂直于准线。符合抛物线定义。 $p/2 = 1/4 \Rightarrow p=1/2$。方程 $y^2=x$。
    (2)(i) $a_n^2 = n$。通项 $\frac{1}{n(n+1)}$。裂项求和得 $\frac{n}{n+1}$。
    (2)(ii) $a_n = \sqrt{n}$。需证 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的范围。 利用放缩法：$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$。 [cite_start]累加即可得证。 [cite: 2379-2408]